Okuyun

Özgür Yılmaz: Korona’nın yayılma matematiği


Background
share close

Korona’nın yayılma matematiği

“İngiltere ve ABD’yi radikal önlem almaya iten bilimsel raporun analizi”

ÖZGÜR YILMAZ*

Bilindiği üzere Amerika Birleşik Devletleri ve İngiltere covid-19 epidemisine karşı aldıkları önlemleri radikal bir şekilde artırmaya karar verdiler. Financial Times gazetesinde yayınlanan bir habere göre bu politika değişikliğine gidilmesinde epidemolog Prof. Neil Ferguson (İngiliz epidemiyoloğu. İnsanlarda ve hayvanlarda bulaşıcı hastalıkların epidemiyolojisinde uzmanlaşmış bir matematik biyolojisi profesörü) ve ekibinin 16 Mart 2020 tarihinde yayımladıkları ve hem Beyaz Saray hem de Downing Sokağı 10 numara ile paylaştıkları raporda yer alan öngörülerin önemli bir etkisi oldu.
Dolayısıyla oldukça önemli, anlamamız gereken bir rapor bu. Kısaca bu rapordaki öngörülerin neler olduğunu aktarmaya çalışacağım. Fakat söz konusu öngörüleri değerlendirebilmemiz için epideminin nasıl bir dinamik olduğunu anlamamız gerekiyor. Dolayısıyla ilk olarak bu dinamikten bahsedeceğim.
İspanyol gribinden sonra geliştirildi
Başlamadan önce belirtmeliyim ki ben epidemi uzmanı değilim. Öneri ya da tahminde bulunamam, haddime değil. Burada sadece bu dinamiği anlamamızı sağlayan matematiksel modeli ana hatlarıyla özetleyeceğim ve sözü geçen rapordaki öngörüleri bu model ışığında yorumlayacağım.
Şimdi, söz konusu model oldukça eski, 1930’lara kadar dayanıyor. Yani çok büyük olasılıkla bu 1918 yılındaki büyük grip salgınının yarattığı büyük yıkım üzerine düşünmeye başlayan, bundan etkilenen bilim insanlarının, matematikçilerinin ortak çabalarıyla oluşmuş, şekillenmiş bir model bu. Basit ama tahmin gücü çok yüksek bir model. Medyada gördüğünüz projeksiyonlar epidemologların bu modeli kullanarak yaptıkları çıkarımlara dayanıyor. Yani dolayısıyla bu modeli ana hatlarıyla da olsa anlamakta büyük fayda var.
Şimdi, epideminin kendi olağan akışında ilerleyip yok olduğu senaryoyla başlayalım. Daha sonra, olası müdahalelerin akışı nasıl değiştirebileceğinden söz edeceğim. Şimdi virüsün nasıl yayıldığını düşünelim. Epideminin en başında bir kişi enfekte oluyor. Ve kısa bir süre sonra taşıdığı virüsü bulaştırmaya başlıyor. Bu taşıyıcı bir başkası ile temasa geçtiğinde, virüsü belli bir olasılıkla bu kişiye bulaştırıyor.

Örneğin bir taşıyıcı, taşıyıcı olduğu süre boyunca ortalama 100 kişiyle temas ediyor olsun ve söz konusu bulaştırma olasılığı da ortalama 1/50 olsun. Bu durumda taşıyıcı ortalama olarak virüsü 2 kişiye bulaştırıyor. Sonra bu 2 kişi 4 kişiye, bu 4 kişi 8 kişiye, 8 kişi de 16 kişiye bulaştırıyor. Ve bu sayı bir şekilde bir süre artıyor, üstel olarak yani katlanarak artıyor.
Fakat bu esnada başka bir şey daha oluyor. Taşıyıcılar hafif ya da ağır hastalanıyorlar ve hastalananların küçük bir yüzdesi ölüyor. Diğerleri iyileşiyor ve bağışıklık geliştiriyor. Yani bir periyotta taşıyıcı olanlar bir sonraki periyotta bağışıklık kazanıyorlar ve artık virüsü bulaştırmıyorlar ve de virüs kendilerine bulaşmıyor. Birazdan ayrıntılandıracağım ama baştan söyleyeyim, bağışıklık kazananların sayısı sürekli artıyor ve bu sayı aslında bir nevi hız kasisi işlevi görüyor ve salgını yavaşlatıyor.
Şimdi bu dinamiğe göre herhangi bir anda nüfusu üçe ayırabiliriz. Virüs bulaşmamış olanlar, taşıyıcılar ve bağışıklık kazanmış olanlar. Sözgelimi epideminin en başında bütün nüfus virüs bulaşmamış olanlardan ibaret. Zaman içinde hem taşıyıcıların hem de bağışıklık kazananların sayısı süratli bir şekilde artarken, virüs bulaşmamış olanların sayısı azalıyor. Bir aşamadan sonra virüsün işi zorlaşmaya başlıyor. Çünkü virüs bulaşmamış kişi bulmak zorlaşıyor.
Şimdi ilk örneğimize geri dönelim. Hatırlayalım, hiçbir müdahalenin yapılmadığı ve insanların davranışlarını değiştirmedikleri senaryo üzerine düşünüyoruz. Dolayısıyla bir taşıyıcı yine 100 kişiyle temas ediyor ve her temastaki bulaşma olasılığı yine 1/50. Bu iki değer bakımından bir şey değişmiyor. Fakat değişen çok önemli bir şey var. Artık 100 kişinin içinde bağışıklık kazanmış olanlar mevcut. Varsayalım ki epideminin nüfusun yüzde 20’sinin bağışıklık kazanmış olduğu bir andayız. Dolayısıyla bir taşıyıcı ortalama olarak yine 100 kişiyle temas ediyor, burada değişen bir şey yok, ama artık en fazla 80 kişiye bulaştırabiliyor. Ve virüsü bulaştırdığı ortalama kişi sayısı 1,6’ya düşüyor. Yani aslında bir yanda aktif taşıyıcı sayısı artarken -ki bu, virüs için çok iyi bir şey- diğer yandan bir taşıyıcının virüsü bulaştırdığı ortalama kişi sayısı azalıyor. Bir noktadan sonra bu ikinci etki dominant olmaya başlıyor ve aktif taşıyıcı sayısı da azalmaya başlıyor. Epidemi düşüşe geçiyor ve sonunda yok oluyor.
Bütün epidemilerin izlediği temel dinamik, takip ettiği temel dinamik kabaca bu. Şimdi hatırlayalım, örneğimizde epideminin en başında bir taşıyıcı ortalama olarak 2 kişiye bulaştırıyordu virüsü. Bu sayıya, yani salgının en başında bir taşıyıcının virüsü ortalama olarak bulaştırdığı kişi sayısına, epidemiyologlar reprodüksiyon oranı ya da sayısı diyorlar. Dikkat edelim burada önemli olan nokta, bu değerin salgının en başındaki değer oluyor olması. Bu sayı çok önemli. Peki neden?
Covid 19’un reprodüksiyon sayısı
Çünkü bu sayı bize kaç kişinin enfekte olacağını ve dolayısıyla kaç kişinin hayatını yitireceğini söylüyor, epideminin sonu itibariyle. Bu sayı birden küçükse, virüs salgını asla epidemiye dönüşmüyor. Öte yandan bu sayı ne kadar büyük olursa epidemi de o kadar büyük ölçekli oluyor.
Covid 19 için reprodüksiyon sayısının henüz ne olduğunu kesin olarak bilmiyoruz. Farklı tahminler var, okuduğum kadarıyla 2 ile 3,5 arasında değişiyor. Zaman içinde çok daha bu konuda keskin bir tahminimiz mutlaka olacaktır. Profesör Ferguson ve ekibinin raporundaki sonuçlar yaklaşık 2,5 değeri için elde edilmiş. Şimdi bu durumda hiçbir müdahale yapılmazsa, elimizdeki matematiksel modele göre nüfusun yaklaşık yüzde 85’i enfekte olacak, ki rapordaki simülasyonlara göre de bu oran yüzde 81. Bu iki rakam oldukça yakın birbirine.
Burada temel sorun sağlık sisteminin bu epideminin altından kalkıp kalkamayacağı ya da nasıl kalkacağı. Rapora göre İngiltere’deki mevcut hastane altyapısı göz önüne alındığında, Nisan’ın ortasından itibaren yoğun bakım üniteleri talebi karşılamakta yetersiz kalacak ve haziran başı gibi de talep arzın yaklaşık otuz katına kadar çıkacak. Asli amaç bu yığılmayı engellemek. Aksi takdirde sağlık sistemi çökme noktasına gelecek.
Şimdi gelelim alınan önlemlere ve raporda yer alan öngörülere. Öncelikle alınan önlemlerin reprodüksiyon sayısını efektif olarak düşürdüğünü vurgulamakta fayda var. El sabunlamak, taşıyıcıların maske takması, tokalaşmamak gibi kişisel önlemler, aslında virüsün her temastaki bulaşma olasılığını azaltıyor. Öte yandan okulları kapatmak, sosyal mesafelenme gibi daha geniş ölçekli toplumsal önlemler temas sayısını azaltıyor. Her halükârda reprodüksiyon sayısı efektif olarak düşüyor. Şimdi bu noktada iki farklı türde müdahale ya da politika söz konusu.
Kapasitenin 8 katı yoğun bakım ünitesi
İlki epideminin hızını yavaşlatmak ve dolayısıyla etkilerini zamana yaymak. Burada reprodüksiyon sayısı alınan önlemlerle düşürülüyor ama 1’in altına değil. Yani epidemiyi durdurmak değil, ölçeğinin küçültmek hedefleniyor. Örneğin İngiltere başlangıçta bu politikayı uygulayacağını duyurmuştu. Bu sayede ölüm sayısı azaltılacak, sağlık sistemi üzerinde kaldırılamaz bir yük oluşmayacaktı. Daha doğrusu böyle olacağına inanılmıştı. Fakat, başta söz ettiğim rapor bu politikanın ölüm sayısını en iyimser tahminle yarıya kadar düşüreceğini, bu anlamda kısmen etkili olacağını, ancak sağlık sisteminin tıkanmasını engelleyecek düzeyde bir azalma ve zamana yayma sağlamayacağını öngörüyor. Simülasyonlar, epideminin tepe noktasında yoğun bakım ünitesi talebinin mevcut kapasitenin en az sekiz katı kadar olacağını söylüyor. Sağlık sistemi felce uğrayacağı için, tedaviye muhtaç diğer hastalıklar için ölüm oranın artacağı da aşikâr. Dolayısıyla Ferguson ve ekibi bu politikanın işe yaramayacağını ve daha radikal bir müdahaleden başka çare olmadığını öne sürüyorlar. Bence bu rapordaki en önemli sonuç, en önemli öngörü bu.
Baskılama yöntemi 5 ayda bitmiyor
İkinci tür müdahale, yani baskılama, gerekli bütün radikal önlemleri hayata geçirerek epidemiyi durdurmak anlamına geliyor. Burada reprodüksiyon sayısının efektif olarak birin altına düşürülmesi ve epideminin bastırılması amaçlanıyor. Ferguson ve ekibi, baskılama yöntemlerinin beş ay boyunca uygulanması durumunda şunu öngörüyorlar. Bu beş ayın sonunda eğer bu önlemler kaldırılır ve gündelik hayat normale dönerse, epidemi hiçbir müdahale yapılmaması durumundaki kadar şiddetli bir şekilde geri dönüyor. Yani bu politika eğer aşı bulununcaya kadar sürdürülmezse epideminin şiddetini etkilemiyor, sadece en kötü senaryonun gerçekleşmesini, baskılama ne kadar süreyle uygulanacaksa o kadar süre öteliyor. Şimdi bunun niye böyle olduğunu anlamak için epidemi dinamiğine ve reprodüksiyon sayısına geri dönelim.
Baskılama virüsün yayılımını durdurduğu için, nüfus içinde bağışıklık kazanmış olanların oranı, baskılama boyunca artmıyor. Ya da çok az artıyor ve başlangıçtaki değerine yani sıfıra yakın olarak kalıyor. Bu durumda önlemler ortadan kaldırıldığında reprodüksiyon sayısı efektif olarak azalmamış oluyor. Dolayısıyla epidemi öteleniyor ancak şiddetinden ve ölçeğinden hiçbir şey kaybetmeden geri geliyor. Ferguson ve ekibinin ifadeleriyle söylersek, baskılama ne kadar başarılı olursa, ötelenmiş epidemi o kadar büyük ve şiddetli olarak geri geliyor. Çünkü epidemiyi ne kadar baskılarsak baskılayalım, önlemler ortadan kaldırıldığında, en az bir kişi virüsü taşıyor olacak ve epidemi maalesef yeniden başlayacak.
Kısacası bu rapor epidemiyi zamana yaymanın etkili bir yöntem olmadığını, baskılamanın da sorunu ötelemekten ibaret olduğunu öngörüyor. Oldukça karamsar bir tablo. Geçtiğimiz üç dört gün içinde bu karamsar tablonun çok gerçekçi olmadığını öne sürenler de oldu. Bu görüşe göre, baskılama süresince her şeyden önce zaman kazanılmış olacak ve bir sonraki raunda daha iyi hazırlanılacak. Test kitleri geliştirilecek ve Çin, Güney Kore, Singapur ve Tayvan’da uygulanmış olan, herkese test ve hasta takibi gibi çok daha sofistike yöntemlerin altyapısı kurulacak. Böylece hayat normale döndüğünde bu önlemler devreye sokulabilecek ve ötelenmiş epidemi senaryosu bu raporda öngörüldüğü kadar karanlık olmayacak.
Son olarak, global ölçekte bir sorundan söz ediyoruz ve hiçbir toplumun diğer deneyimlere kayıtsız kalmak gibi bir lüksü yok. Türkiye de istisna değil. Dışımızdaki dünyayı yakından takip etmek ve olup biteni anlamaya çalışmak, dersler çıkarmaya devam etmek durumundayız. Hoşça kalın, sağlıkla kalın.
——————————————
Doçent Dr., Koç Üniversitesi Ekonomi bölümü öğretim üyesi

Önceki bölümler